inf xn sup xn lim xn

Чтобы найти супремум (последовательности просто как числового множества, без учёта упорядоченности), рассмотрите две подпоследовательности: с чётными номерами и с нечётными. Там всё тривиально.

Аналогично с инфимумом.

Ну и так как последовательность сходится, то все её подпоследовательности сходятся к тому же пределу, что и она сама. То есть верхний и нижний пределы совпадают с пределом.

Кстати, я ошибся. Зрение подвело. У Вас там последнее слагаемое к [m]0[/m] не стремится.

Прочитайте определения инфимума <числового множества>, супремума, верхнего и нижнего пределов.

Извините, ребёнку сказку рассказывал.

Супремум находим просто как максимальное значение элементов объединения 2 множеств, построенных из элементов указанных подпоследовательностей. Это просто, ибо подпоследовательности монотонны. Должно получиться [m]1,15[/m]. Аналогично инфимум — как минимум. Должно получиться [m]0,1[/m].

Предел последовательности не существует (последовательность расходится), так как [m]x_<2k>[/m] и [m]x_<2k-1>[/m] сходятся к разным пределам.

Верхний предел — это супремум (точная верхняя грань) пределов всевозможных подпоследовательностей. Но из этих подпоследовательностей сходятся лишь те, которые содержат не больше, чем конечное количество элементов одной из подпоследовательностей. Иначе, то есть когда мы берём бесконечно много элементов с чётными и бесконечно много элементов с нечётными номерами, сходимости быть не может — это противоречило бы теореме локализации. Значит, всё множество пределов подпоследовательностей состоит всего лишь из двух чисел, а именно [m]1,15[/m] и [m]0,1[/m]. Здесь и выбираем нужное.

Я не знаю, как мне выделить эти последовательности и вычислить их пределы.
Ну давайте я попробую разобрать вам эту задачу.
Члены вашей последовательности представляют собой произведение двух компонент. Первая (n+1)/n монотонно убывает. Следовательно, максимальное значение она принимает при n=1.
Выпишем несколько первых членов
2, 3/2, 4/3, 5/4, 6/5, .
Предел этой последовательности равен единице. Она стремится к нему сверху.
Т.е. про эту последовательность мы знаем уже абсолютно всё. Ее супремум равен 2, инфимум равен 1, предел существует и тоже равен 1. Это нам понадобится в дальнейшем.

Рассмотрим второй множитель. Это периодическая функция. Выпишем первые члены (лучше всего смотреть с помощью тригонометрического круга или как вам удобно).
Пишу очень подробно.
n=1
`cos^2((pi*n)/4)=cos^2(pi/4)=(sqrt(2)/2)^2=1/2`
n=2
`cos^2(pi/2)=0`
n=3
`cos^2((3pi)/4)=(-sqrt(2)/2)^2=1/2`
n=4
`cos^2(pi)=(-1)^2=1`
n=5
`cos^2((5pi)/4)=(-sqrt(2)/2)^2=1/2`
n=6
`cos^2((3pi)/2)=0`
n=7
`cos^2((7pi)/4)=(sqrt(2)/2)^2=1/2`
n=8
`cos^2(2pi)=(1)^2=1`
Обошли один круг. Получили 8 значений. Что о них можно сказать?
Видно, что при любом нечетном n значение косинуса равно 1/2. Так?
Если n делится на 4, косинус принимает значение 1, а если делится на два, но не делится на 4, то принимает значение 0.
И больше никаких значений быть не может, потому что мы рассмотрели полный период. Дальше всё начнет повторяться.

Таким образом, мы члены монотонной последовательности умножаем то на 1/2, то на 0, то на 1. И последовательность, соответственно, разобьется на три подпоследовательности, стремящиеся к разным пределам.

Давайте выпишем первые члены.

2*1/2, 3/2*0, 4/3*1/2, 5/4*1, 6/5*1/2, 7/6*0. или
1, 0, 2/3, 5/4, 3/5, 0, .
Мы уже сказали, что первый множитель монотонно уменьшается, а второй изменяется периодически и принимает всего три значения 1, 0, 1/2. Значит, в качестве супремума нужно выбрать самый большой член из начала последовательности.
Нам бы подошел первый, но в нем косинус равен 1/2 и он на него плохо повлиял
Зато в четвертом члене косинус равен 1. И мы видим, что значение 5/4 самое большое. (Почему?)
Отсюда sup=5/4.
Буду писать частями. Продолжение следует.

Найти предельные точки последовательности Xn, нижний и верхний lim при n стремящимся к бесконечности, sup, inf.

Начала решать, доказала, что при чётных n сводится к 1/n + 1 (т.е. предельная точка 1)
а при нечётных n сводится к -1/n (предельная точка 0).
но не знаю, доказать единственность этих точек.

ну, и плюс нижний и верхний lim при n стремящимся к бесконечности, sup, inf не знаю, как находить..