Ответ или решение 1
1 + cos x + cos 2x + cos 3x = 0;
1 + (cos x + cos 3x) + cos 2x = 0;
По формуле тригонометрии cos x + cos y = 2 cos ((x+y)/2) * cos ((x-y)/2), поэтому упрощаем уравнение:
1 + 2 * (cos ((x+3x)/2) * (cos ((3x-x)/2)) + cos 2x = 0;
1 + 2 * (cos 2x * cos x) + cos 2x = 0;
1 + 2 * (2 (cos^2 x)-1) * cos(x)+2 cos^2 x — 1 = 0;
2 cos x * (2 cos^2 x + cos x — 1) = 0;
cos x * (cos x + 1) * (cos x — 1/2) = 0;
Таким образом x = п/2 + п * n или x = п* (2n + 1) или x= ± п/6 + п * n, п — число Пи, равное 3.14;
Ответ: x = п/2 + п*n; x = п*(2n + 1); x= ± п/6 + п*n.
1 Answer
lim(x→0) (1 — cos x cos(2x) cos(3x))/(1 — cos(2x))
= lim(x→0) (1 — (1/2)(cos(x+2x) + cos(x-2x)) * cos(3x))/(1 — cos(2x))
= lim(x→0) (1 — (1/2)(cos(3x) + cos x) cos(3x))/(1 — cos(2x))
= (1/2) * lim(x→0) (2 — cos^2(3x) — cos x cos(3x))/(1 — cos(2x))
= (1/2) * lim(x→0) [2 — (1/2)(1 + cos(6x)) — (1/2)(cos(x+3x) + cos(x-3x))]/(1 — cos(2x))
= (1/4) * lim(x→0) [4 — (1 + cos(6x)) — (cos(4x) + cos(2x))]/(1 — cos(2x))
= (1/4) * lim(x→0) [3 — cos(6x) — cos(4x) — cos(2x)]/(1 — cos(2x))
= (1/4) * lim(x→0) [6 sin(6x) + 4 sin(4x) + 2 sin(2x)]/(2 sin(2x)), by L’Hopital’s Rule
= (1/4) * lim(x→0) [36 cos(6x) + 16 cos(4x) + 4 cos(2x)]/(4 cos(2x)), by L’Hopital’s Rule
Alternately, using power series (for cosine) yields
lim(x→0) (1 — cos x cos(2x) cos(3x))/(1 — cos(2x))
= lim(x→0) [1 — (1 — x^2/2 + . ) (1 — (2x)^2/2! + . ) (1 — (3x)^2/2! + . )]/(1 — (1 — (2x)^2/2! + . ))
= lim(x→0) [1 — (1 — x^2/2 + . ) (1 — 2x^2 + . ) (1 — (9/2)x^2 + . )]/(2x^2 + . )
= lim(x→0) [1 — (1 — (1/2 + 2 + 9/2) x^2 + . )]/(2x^2 + . )
= lim(x→0) x^2 (7 + [terms in x])/[x^2 (2 + terms in x])]
= lim(x→0) (7 + [terms in x])/(2 + [terms in x])
УСЛОВИЕ:
РЕШЕНИЕ ОТ SOVA ✪ ЛУЧШЕЕ РЕШЕНИЕ
Формула
cos альфа *cos бета =(1/2)*(cos( альфа + бета )+cos( альфа — бета ))
Формула
cos альфа -cos бета=-2* sin(( альфа + бета )/2)*sin(( альфа — бета )/2)
3x=Pik, k ∈ Z или 2х=Pin, n ∈ Z
x=(Pi/3)k, k ∈ Z или х=(Pi/2)*n, n ∈ Z
О т в е т. (Pi/3)k; (Pi/2)*n, k, n ∈ Z
Можно записать ответ иначе, с учетом того, что некоторые корни повторяются дважды
О т в е т. (Pi/3)k; (Pi/2)+(Pi)*n, k, n ∈ Z
